I) L'ensemble des entiers naturels.

Il se note N. Il comprend les entiers positifs.
Il est dit naturel car nécessaire dans la vie de tous les jours pour compter.
N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;.....}
Remarque : 0 est considéré comme un entier naturel.
Exemples :
-> 12 est un entier naturel.
   On dit que : 12 appartient à N.
   On note : 12 ∈ N.
-> -2 n’est pas un entier naturel.
   On dit que : -2 n’appartient pas à N.
   On note : -2 ∉ N.

II) L’ensemble des entiers relatifs :

Il se note Z. Il comprend les entiers positifs et négatifs.
Z = {...; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;...}
Remarque : Tout nombre naturel est aussi un entier relatif.
On dit que l’ensemble N est inclus dans l’ensemble Z. On note : N ⊂ Z.
Exemples :
-> -2 ∈ Z
-> 12 ∈ Z
-> 15,8 ∉ Z

III) L’ensemble des nombres décimaux :

Il se note D. Il comprend tous les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de décimales.
C’est-à-dire tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme : a /(10^p),
où a est un entier relatif, p est un entier naturel.
Exemples :
-> 2,8 = 28 / 101, donc 2,8 ∈ D.
-> 54,375 = 54375 / 103, donc 54,375 ∈ D.
-> -2 ∈ D et 17 ∈ D car Z ⊂ D.
-> Mais ⅓ ≃ 0,33333…. a un nombre infini de décimales, donc ⅓ ∉ D.

4) L’ensemble des nombres rationnels :

Il se note Q. Il comprend tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/b,
où a est un entier relatif et b un entier naturel différent de 0.
Exemples :
-> ⅓ ∈ Q.
-> 2,8 = 28/10, donc 2,8 ∈ Q.
-> -17 = -17/1, donc -17 ∈ Q.
En effet, D ⊂ Q.
-> Mais certains nombres ne peuvent pas s’écrire sous forme rationnelle…
Notamment : π, √2, √3….  π ∉ Q.
Ces nombres sont dits irrationnels.

5) L’ensemble des nombres réels :

Il se note R. Il comprend tous les nombres, qu’ils soient rationnels ou irrationnels !
C’est le plus grand ensemble.
Exemples :
-> π ∈ R.
-> √2 ∈ R.
-> 8/17 ∈ R.
etc…
Remarque :
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Cette démonstration suppose la mise en place d'un raisonnement par l'absurde. Pour démontrer que notre proposition est vraie, on suppose que sa négation est vraie et on aboutit alors à une incohérence, une contradiction.

On veut démontrer que : 1/3 ne peut pas s'écrire sous forme décimale.

On suppose que 1/3 peut s'écrire sous forme décimale.
Par définition, 1/3 peut alors s’écrire sous la forme a/(10^p) (avec a ∈ Z et p ∈ N).
On a alors : 1/3 = a/(10^p).
ce qui équivaut à : 10^p/3 = a
puis à : 3a = 10^p
Or 3a est un multiple de 3. Donc 10^p doit nécessairement être un multiple de 3.
C’est-à dire que la somme des chiffres de 10^p doit être un multiple de 3 (critère de divisibilité par 3).
Ce qui est absurde car la somme des chiffres de 10^p vaut toujours 1.
Donc 1/3 ne peut pas s’écrire sous forme décimale.

Exercice 1 :

Donner le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.
a) 84
b) 84,01
c) 1/84
d) -84/2
e) √84

→ Faits en cours, correction :

Correction:

Exercice 2 :

Donner l’écriture décimale des nombres suivants :
a) ½
b) 3/2
c) ¾
d) 7/5
e) 22/20

→ Faits en cours, correction :

Correction:

Exercice 3 :

Dans chaque cas, indiquer si les propositions sont vraies ou fausses. Justifier.
a) Tout entier est un nombre décimal.
b) Tout nombre réel est rationnel.
c) Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
d) Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
e) Il existe deux nombres rationnels dont la somme vaut 1.

→ Faits en cours, correction :

Correction:

Exercice 4 :

Donner le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.


→ A travailler en cours.

Exercice 5 :
Soit x ∈ N, pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple.
a) (2x - 1) ∈ N.
b) (2x + 1) ∈ Q.
c) (3x - 7) ∈ N.
d) (x - 6)/2 ∈ Z.
e) (x + 1)/√2 ∈ R.
f) √x ∈ Q.

→ A travailler en cours.

Répondre à un vrai ou faux.
Exemples et contre-exemples.

1) Pour démontrer qu’une proposition est vrai pour un cas, on utilise un exemple.
Exemple :
Il existe un réel x pour lequel : x = 2x.
Vrai, en effet pour x = 0, on a : x = 0 et 2x = 2 x 0 = 0
             , donc x = 2x.
En revanche, la proposition : “Pour tout réel x, on a : x = 2x.” est fausse.
(pour x = 1, x = 1 et 2x = 2 ; donc x ≠ 2x)

2) Pour démontrer qu’une proposition est fausse, on utilise la plupart du temps un contre-exemple.
Exemple :
Pour tout réel x : (x + 2)² = x² + 2²
Faux, en effet pour x = 1, on a : (x + 2)² = (1 + 2)² = 3² = 9 et 1² + 2² = 5, donc (x + 2)² ≠ x² + 2².

3) Pour démontrer qu’une proposition est vraie pour tous les cas, un exemple ne suffit pas, il faut la démontrer.
Exemple :
Quels que soient les réels a et b, (a + b)² = a² + 2ab + b².
Vrai, il s’agit d’une identité remarque, on peut la démontrer en développant :
(a + b)² = (a + b) x (a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².

Définitions :
Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts.
Un nombre composé est un entier naturel non-premier et distinct de 0 et 1.

Remarque :
La définition : “Un nombre premier est un entier naturel divisible par 1 et lui-même” est incorrecte car elle induirait que 1 est un nombre premier, or il ne l’est pas. Il est nécessaire de préciser que 1 et lui-même doivent être distincts.

Exemples :
-> 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs.
-> 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
-> 2 est premier, et c’est le seul entier pair premier !
-> Tous les autres entiers pairs sont composés car ils ont au moins 3 diviseurs distincts : 1, 2 et eux-mêmes.

Propriété :
Si n est premier, alors n = 2 ou n est un entier impair.
en "langage mathématique" : n est premier ⇒ n = 2 ∨ n = 2k + 1 ; k ∈ N.

Remarque :
Il est intéressant de connaître le début de la suite des nombres premiers pour gagner en rapidité de calcul et de simplification d’expression.
-> Liste des 50 premiers nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 …
-> Liste des nombres premiers jusqu’à 50 000 : https://www.nombres-premiers.fr/liste.html

Théorème I :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, alors n admet au moins un diviseur premier, son plus petit diviseur autre que 1.

Décomposition en produits de facteurs premiers :
Tout entier naturel n strictement supérieur à 1 peut se décomposer sous la forme d’un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.
L’entier n s’écrit donc de manière unique sous la forme :
n = p1^a1 x p2^a2 x p3^a3 x … x p(k)^a(k)
où p1 , p2 , p3 , p(k) sont des nombres premiers distincts
et a1, a2, a3, a(k) sont des entiers naturels non nuls.

Exemple :
Décomposition en facteurs premiers de 1400 :
1400 = 7 * 200 = 7 * 50 * 4 = 7 * 5 * 5 * 2 * 2² = 2^3 * 5² * 7^1

Remarques :
L’unicité de cette décomposition et ses utilisations fait qu’elle est considérée comme la carte d’identité d’un nombre.
On range communément les facteurs dans l’ordre croissant.
Il n’est pas nécessaire d’indiquer les exposants 1.

Théorème II :
Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration du Théorème I :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, alors n admet au moins un diviseur premier, son plus petit diviseur autre que 1.

On raisonne par disjonction des cas :
Si n est premier, il a deux diviseurs, 1 et n, n est bien son plus petit diviseur premier autre que 1.
Si n est composé, il admet au moins un diviseur autre que 1 et n.
On note b le plus petit diviseur de n.

Pour montrer que b est premier, on raisonne par l’absurde.
   Supposons que b est composé, il admet alors un diviseur p autre que 1 et b.
   Comme p divise b, et b divise n, alors p divise n.
   De plus 1 < p < b, on a donc p, un diviseur autre que 1 et n et strictement plus petit que b.
   Ce qui contredit le fait que b est le plus petit diviseur de n.
   La supposition de départ est donc fausse.
Donc b est nécessairement un nombre premier.

Démonstration du Théorème II :
Il existe une infinité de nombres premiers.

Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe un nombre fini de nombre premiers, p est le plus grand d’entre-eux.
On peut alors écrire cette liste finie : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; … ; p.
On considère alors le produit de tous ces nombres :
N = 2 * 3 * 5 * 7 * … * p
Si on ajoute 1 à N, on obtient : N + 1 = 2 * 3 * 5 * 7 * … * p + 1.
Le reste de la division euclidienne de N + 1 par 2 ; 3 ; 5 ; …. ; p vaut 1.
Donc N + 1 n’est divisible par aucun de ces entiers.
Ce qui est absurde car cela contredit le fait que N + 1 n’est pas premier.
Donc il existe une infinité de nombres premiers.

Exercice 1 :

Soit n un nombre premier, le nombre n+7 est-il premier ?

--> Fait en cours : correction :

Correction :

Exercice 2 :

Soit n un entier naturel. On pose A = n² + 4n + 3.
A peut-il être premier, et pour quelles valeurs de n ?

--> A faire en cours...

Petite fiche d'exercices rangés par ordre de difficulté.

https://docs.google.com/document/d/1S-6g3iHVi6Mr-6rwjL-eiV3dlWvy0LtUISXtCKCnkJc/edit?usp=sharing

I- Présentation et contexte historique.

Le paradoxe de Monty Hall tient son nom d'un présentateur d’une émission américaine, Let's make a deal, qui a repris et popularisé le concept d'un jeu de hasard.

Monty Hall.:

Voici le premier énoncé de ce problème tel qu'il a été publié dans un magazine américain en 1990.

« Supposez que vous êtes sur le plateau d'un jeu télévisé, face à trois portes et que vous devez choisir d'en ouvrir une seule, en sachant que derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière les deux autres des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la numéro 1, et le présentateur, qui sait, lui, ce qu'il y a derrière chaque porte, ouvre une autre porte, disons la numéro 3, porte qui une fois ouverte découvre une chèvre. Il vous demande alors : « désirez-vous ouvrir la porte numéro 2 ? ». Avez-vous intérêt à changer votre choix ? »

Problème illustré:

I- Réponse au problème.

On est instinctivement tenté de dire que peu importe notre choix (rester ou changer de porte), on a autant de chance de gagner ou de perdre, car c'est un jeu de hasard. On ne connaît pas le présentateur, on ne peut pas tricher, donc la probabilité de gagner est de 0,5 peut importe la porte.
C'est en réalité faux.
Chose rare en probabilités, notre intuition nous trompe, d'où le nom de paradoxe.
(en grec : paradoxa : « contraire à l'opinion commune », de para : « contre », et doxa : « opinion »).

Alors quel est le bon choix à faire ?

Au moment de votre premier choix : la probabilité que la voiture soit derrière la porte que vous avez choisie est de 1/3. (car situation d’équiprobabilité)
En toute logique, la probabilité que la bonne porte soit une des deux autres est de 2/3.
Quand le présentateur en élimine une des deux, alors la probabilité que la porte que vous n’avez pas choisi soit la bonne devient de 2/3, contre seulement 1/3 pour la votre.
Vous avez donc tout intérêt à changer de porte !

Et c'est tout. Bon comme je vous entends râler "gnegnegne c'est trop simple" on va essayer de corser un peu l'histoire. On pourra démontrer par simulations ces résultats par algorithmie. Mais considérons maintenant quelques variantes...

II- Variantes du problème initial.

Le présentateur se rend compte que les candidats gagnent trop souvent, et que l'usine Renault-PSA est en rupture de stock. Il décide donc de rajouter une quatrième porte pour rendre le jeu plus difficile.

Variante avec 4 portes.
(La question n'est pas de savoir que la probabilité de gagner baisse, c'est évident, mais de savoir s'il est toujours intéressant de changer de porte...)
Donc, la probabilité que la porte que vous avez choisie soit la bonne vaut 1/4.
logiquement, la probabilité que la bonne porte soit une des 3 autres est de 3/4.
Quand le présentateur en élimine une la probabilité que la bonne porte soit une des deux qui restent est de 3/4.
Soit 3/4 divisé par 2 = 3/8 de chance chacune (contre 2/8 pour votre premier choix).
Conclusion : cela reste toujours plus intéressant de changer de porte.

Le présentateur est en panique totale, encore un candidat qui remporte la voiture et il peut mettre la clé sous la porte ! Qu'à cela ne tienne, il ne gagneront plus jamais, il décide de les faire jouer avec 100 portes.

Variante avec 100 portes.
Bon inutile de déployer le raisonnement (strictement identique au précédent), les résultats sont :
99/9800 chance de gagner en changeant de porte (contre 98/9800 pour votre premier choix).
Conclusion : pour un grand nombre de portes (pas trop grand non plus, sinon la probabilité de gagner sera tellement proche de 0 que vous ne gagnerez jamais), la différence est de moins en moins importante. Le fait de supprimer une porte n'influe plus tellement. Le côté paradoxal "disparaît"...
Remarque : C'est également la raison pour laquelle le problème se pose pour 3 portes (qui est le plus petit nombre de portes nécessaire pour qu'on puisse poser le problème..).

(D'autres variantes à venir...)

III- Analyse statistique.

On exploite dans cette partie les résultats obtenus dans cette simulation en ligne : https://www.stayorswitch.com/.

Remarque : les pourcentages de gains (34% quand on reste sur son premier choix et 66% quand on décide de changer) sont affichés mais ça ne nous intéresse plus tellement, néanmoins ces résultats sont très fiables, car c'est plus de 1 million de véritables personnes qui ont participé à cette simulation (remarque, c bcp).

Au total, 1 008 063 personnes ont participé à cette simulation. (oui au moment où tu lis ces lignes c'est encore plus, car d'autres personnes ont participé entre temps...)

Sur ces 1 008 063 personnes : 667 225 personnes ont décidé de ne pas changer de porte : cela représente, 667 225/1 008 063 = 0,66 = 66% de la population totale.

Et 340 838 personnes ont décidé de changer de porte : ce qui représente, 340 838/1 008 063 = 0,34 = 34% de la pop totale.

(Pour le coup c'est vraiment une coïncidence que ça soit les mêmes pourcentages que les pourcentages de gains... Croyez moi !)

Si on résume grosso modo :
66% de cette population a 34% de chances de gagner.
34% de cette population à 66% de chances de gagner.

Construisons un arbre de probabilité à partir d'une expérience qui consiste à prendre une personne au hasard dans cette population, et à regarder si elle gagne ou elle perd.

Arbre de probabilités:

On a donc ainsi la probabilité que la personne gagne qui vaut 2 * 0,2244 = 0,4488 = 45%
On a donc ainsi la probabilité que la personne perde qui vaut 0,1156 + 0,4356 = 0,5512 = 55%

Conclusion : Alors que ce jeu permet aux participants de gagner 2 fois sur 3 quand même, ceux-ci ne gagnent au final que 45% du temps... La raison est sans doute liée à l'égo humain (qui préfère suivre sa première intuition), mais ça devient des sciences humaines et je suis pas du tout qualifié là-dedans, donc si vous avez une analyse à proposer n'hésitez pas.

Le présentateur n'est pas dupe, et se saisit de cette occasion pour se refaire un peu de blé.

IV- Jeux d'argent et espérance.

Il décide de proposer au candidat une certaine somme s'il gagne, mais celui-ci doit d'abord miser la moitié de cette somme pour pouvoir jouer (il ne récupère pas sa mise en cas de victoire). Est-ce une bonne idée ? (la suite au prochain épisode...)