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 [Mathématiques] Cas d'équiprobabilité 


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Étoiles  177

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Lun 10 Oct - 14:33


Théorie des probabilités
Le cas simple d'équiprobabilité

À partir de maintenant, vous aurez à choisir entre deux voies d'apprentissage différentes selon votre niveau en mathématiques.
Ces deux voies d'apprentissage traiteront toujours du même sujet, seule la rigueur mathématique sera variable.
Quand bien même vous pouvez vous sentir fort, je ne peux que fortement vous inviter à lire tout d'abord la première voie où je détaille assez précisément le fond et ce qu'il faut absolument retenir de la notion.



VOIE DES GENS NORMAUX

I - Le cas simple d'équiprobabilité

Dans le cadre de l'étude d'une expérience aléatoire, l'on sait intuitivement si plusieurs évènements ont - ou non - la même probabilité de se réaliser.

Étudions par exemple le lancer d'un dé non truqué.
Nous savons que l'on a la même probabilité d'obtenir un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 ou un 6.
Donc les six évènements suivants : "Obtenir le nombre 1", "Obtenir le nombre 2", "Obtenir le nombre 3", "Obtenir le nombre 4", "Obtenir le nombre 5" et "Obtenir le nombre 6" ont la même probabilité de se réaliser.
On dit que l'on est dans un cas d'équiprobabilité.

Étudions dans un autre exemple le tirage d'une boule dans une urne.
Si l'on a 5 boules rouges et 5 boules noires, on sent bien que l'on a la même probabilité de tirer une boule rouge que de tirer une boule noire.
C'est un autre cas d'équiprobabilité.

Nous allons donc étudier ici ce cas simple, et plus particulièrement apprendre à calculer une telle probabilité lorsque l'on se trouve dans ce cas.

Proposition 1.1 — On suppose que l'on étudie une expérience aléatoire dans le cas simple d'équiprobabilité (pensez au lancer de dé pour fixer les idées).
On note A un évènement quelconque lié à cette expérience aléatoire (pensez par exemple A : "Obtenir le nombre 3").
On note P(A) la probabilité que l'évènement A se réalise.
On a alors : P(A) = nb de cas favorables à A / nb de cas total

Exemple :
Prenons l'exemple d'un lancer de dé non truqué (comme suggéré précédemment).
A : "Obtenir le nombre 3".
On a alors d'après la formule
P(A) = nb de cas favorables à l'obtention d'un 3 / nb de cas total

1) Quels sont, dans le cadre de l'expérience aléatoire (ici un lancer de dé) les cas favorables à l'obtention d'un 3 ?
La réponse est simple, on obtient un 3 si, et seulement si, l'on a obtenu un 3... Donc il n'y a qu'un seul cas favorable.

2) Quels sont les cas total à considérer dans le cadre de l'expérience aléatoire ?
On a tout d'abord le cas où l'on obtiendrait un 1, puis le cas où l'on obtiendrait un 2, etc. jusqu'au cas où l'on obtiendrait un 6.
Il y a donc 6 issues possibles à cette expérience aléatoire.

3) On utilise la formule :  
P(A) = nb de cas favorables à l'obtention d'un 3 / nb de cas total
P(A) = 1 / 6

On observe 3 étapes lors de la recherche de la probabilité dans une telle situation. Il faut impérativement se poser chacune des questions soulevées à chacune de ces étapes. Attention à ne pas aller trop vite.

On en déduit la méthode à retenir :
1) Se demander quels sont les cas favorables à la réalisation de l'évènement A, les compter pour avoir le "nb de cas favorables à A".

2) Se demander quelles sont toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire E, les compter pour avoir le "nb de cas total".

3) Utiliser la formule P(A) = nb de cas favorables à A / nb de cas total.




VOIE DU PGM

I - Le cas simple d'équiprobabilité

La naissance du calcul des probabilités remonte aux travaux de Pascal et Fermat en 1654. Ils étaient à cette époque les deux grands mathématiciens européens et c’est tout naturellement vers eux que se tourna le Chevalier de Méré, joueur et « bel esprit », pour modéliser un jeu de hasard dont il était particulièrement friand.

Comme le disait, avec une pointe d’ironie, J. Bertoin dans son cours de probabilités à l’Université Paris VI :
« On va voir comment on résolvait des problèmes simples à la préhistoire de la théorie. En fait, la plupart des notions importantes par la suite y figurent déjà. La modernité fera son apparition dans les chapitres ultérieurs. »

Donnons tout d'abord une définition précise à l'ensemble répertoriant la totalité des issues possibles d'une expérience aléatoire.

Définition 1.1 — Espace d’états : L’ensemble Ω de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire E est appelé espace d’états (associé à l’expérience E). Un résultat possible de l’expérience est noté classiquement ω. Ainsi, ω ∈ Ω.

Proposition 1.1 — Considérons donc un espace d’états de dimension finie, n, (n entier fixé) : Ω = {ω1,...,ωn} (aussi appelé ensemble des possibles, ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire)
Nous définissons la probabilité P d’un évènement A ⊂ Ω par :
P(A) = Card(A) / Card(Ω)

Nous venons de définir une fonction P de l’ensemble P(Ω) de tous les sous-ensembles de Ω (P(Ω) = ensemble des parties de Ω) dans [0;1] :
P : P(Ω) → [0;1]

Dans le cas d’équiprobabilité, pour faire simple, la probabilité d’un évènement A est « le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles » (cf. voie du noob).

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