Introduction à la théorie des probabilités
« Le hasard n’est que la mesure de notre ignorance. » Alfred Capus, Les pensées.

C’est en cherchant à en tirer avantage, en particulier dans les jeux de cartes ou de dés, que l’Homme a débuté sa quête de quantification de ce qu’on appelle le « hasard ». Cette volonté qui, suivant les époques, a tantôt été considérée comme hérétique tantôt comme prétentieuse, semble surtout manquer de réalisme.

« Le hasard, c’est Dieu qui se promène incognito. » Albert Einstein.

C’est pourtant ce qui a progressivement conduit à faire passer la notion de probabilité d’une opinion, apanage d’une élite chez les Grecs anciens, à une idée philosophique à partir du Moyen-âge pour devenir un objet mathématique à la fin du XVIIe siècle avant de converger, durant la première moitié du XXe siècle, vers la théorie mathématique que nous allons étudier ici.
La puissance de ce concept mathématique permet de modéliser toutes les situations où le hasard intervient, dépassant largement le cadre restreint des jeux, motivation initiale (comme le précise S. Méléard dans son cours à l’Ecole Polytechnique, Aléatoire).

« La modélisation probabiliste est fondamentale dans tous les domaines d’application, qu’ils soient issus des sciences dures ou des sciences humaines, de la physique (physique quantique, physique des particules), de la climatologie, de la biologie (mutations du génome), de l’écologie (variabilité des comportements individuels ou variations environnementales), de l’informatique et des réseaux de télécommunications, du traitement du signal et de la parole, de la médecine (imagerie médicale), de l’économie, l’assurance, la finance (marchés boursiers), ou de la sociologie. »

Dans notre vie quotidienne, nous avons tendance à considérer que seuls les faits les moins agréables sont le fruit du hasard :

« Le hasard fait parfois singulièrement les choses - exprès, dirait-on, pour nous empoisonner l’existence. » Jean-Yves Soucy, Un été sans aube.

Précisons donc que le hasard se doit d’être invoqué dès lors que nous nous trouvons confrontés à un fait que nous sommes incapables de prévoir avec certitude. Soumis continuellement à un certain nombre d’incertitudes et à une volonté naturelle de nous rassurer, nous nous sommes fait notre propre idée sur le concept de probabilité et sur son utilisation. Si le « bon sens » et l’intuition nous retiennent, le plus souvent, de commettre de grossières erreurs d’interprétations dans les situations courantes, il est important de garder à l’esprit que le passage d’un question- nement concret à la quantification des choix possibles, requiert bel et bien de passer par une, toujours délicate, modélisation mathématique.
Cette difficulté essentielle qui consiste à passer d’une situation de la vie quotidienne à un modèle mathématique suffisamment simple pour autoriser les calculs mais suffisamment complexe pour crédibiliser le choix de la modélisation, est au coeur du calcul de probabilités. En effet, dans le cadre du modèle, il est possible de faire de la prédiction, de la prise de décision ou même de l’expérimentation numérique grâce à des simulations.

L’incroyable diversité des phénomènes dans lesquels le hasard intervient a longtemps contribué à restreindre, l’étude des probabilités à un catalogue de méthodes à appliquer au cas par cas. Ce n’est qu’en 1933, qu’Andreï Kolmogorov a offert un cadre théorique suffisamment large pour que soit développée la théorie des probabilités. Il s’est, pour cela, inscrit dans la suite des travaux de théorie de la mesure d’Emile Borel (1897) et les travaux de théorie de l’intégration de Henri-Léon Lebesgue (1902), faisant entrer les probabilités dans le cercle très fermé des domaines fondamentaux des mathématiques.

L’étude des probabilités est donc, avant tout, une étude théorique dans le cadre d’un modèle probabiliste. Dans ce cadre, il n’y a plus de place au hasard ; les objets et notions mathématiques manipulés obéissent aux règles de l’analyse « classique ». La possibilité de réinvestir certains les théoriques dans le cadre d’une situation réelle pourrait presque être considérée comme la récompense inattendue d’un travail bien fait.

La simplicité d’une situation réelle ou d’un énoncé concret donne souvent une idée trompeuse de l’effort de modélisation mathématique qui sera nécessaire à sa résolution. Accepter de procéder avec rigueur et méthode, comme on se doit de le faire en mathématiques, vous amènera à découvrir une manière moderne et captivante de faire des mathématiques. L’objectif de ce cours est de vous aider à ouvrir les yeux !

« Le bon sens, quoi qu’il fasse, ne peut manquer de se laisser surprendre à l’occasion. Le but de la science est de lui épargner cette surprise [...]. » Bertrand Russell.