[Cours de Mathématiques]

**Mr.adamo** Confirmé 9878

Support de cours en mathématiques - Patrick Adamo

Année 2019-2020 : Moyenne

Tous les liens des cours et exercices faits en classe seront postés ici désormais.

L'idée qu'on certains professeurs de tout réunir dans une catégorie me semble assez bonne, j'applique donc à mon tour cette méthode. ça me permettra, ainsi qu'à vous, d'avoir une vision plus globale sur mes cours.

Patrick Adamo - Professeur de mathématiques et de physique

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Second degré - Résolution d'équation :

La formule permettant la résolution d'équation du second degré est :

[Cours de Mathématiques] - Patrick Adamo OArksANLaQWFxXC8CqvgUICsLiML_pzGlMawpwh4fp2Uwv3dOiLVCTym0x3io7jsd6AF6JB0fdoR45Mx8km4Vx5oE82krkgiDm9EnvziDSoDhx90an_I8rbElf87zPUsjjR5UfG3

Cette formule est souvent utilisée lorsque l’on fait du second degré en première et même en terminale. Elle est assez longue et n'est pas forcément facile à mémoriser mais une fois qu’elle est en tête et comprise elle devient un outil formidable dans la résolution d’équation du second degré.

Lorsqu’on souhaite résoudre une équation du second degré il est primordial de mettre l’équation sous la forme ax^2 + bx + c = 0.

a, b et c sont des coefficients qu appartiennent à l'ensemble R.

Lorsque le coefficient a = 0, l’équation se transforme en une équation du premier degré, et dans ce cas là sa résolution devient très simple.

Lorsque le coefficient b = 0, l’équation est toujours au second degré mais la difficulté est beaucoup moins grande. Effectivement lorsqu’on tombe sur une équation de ce type il suffit d’isoler la variable, élevée au carré, et d’ensuite isoler x en faisant la racine carrée de part et d’autres de l’équation.

Il est donc important d’appliquer cette formule lorsque cela est une nécessité et donc que a, b et c sont différents de 0.

Supposons que vous êtes dans le cas de figure où les critères ci-dessus sont respectés. Figurez-vous que vous pouvez encore limiter le nombre de calculs à employer.

On appelle le discriminant (ou delta), noté “Δ”, ce qui se trouve en dessous de la racine dans la formule. Comme indiqué dans la formule de résolution d’équation du second degré, pour connaître sa valeur il suffit de remplacer les coefficients a, b et c dans la formule Δ = b^2 - 4ac

Le fait que l’on insiste sur la détermination du discriminant, dans un premier temps, n’est en rien le résultat du hasard car il va permettre de connaître le nombre de solutions qu’à une équation du second degré. Comme son nom l’indique, il “discrimine”, autrement dit il permet de faire la différence entre les différents types d’équations du second degré.

Effectivement la valeur de ce discriminant va influer sur la formule à appliquer.

Si le discriminant est nul vous pourrez vous apercevoir qu’une partie de la formule va disparaître pour unique cause que la racine carrée du discriminant ramène à une valeur nulle.

La formule à appliquer dans ce cas serait donc :

[Cours de Mathématiques] - Patrick Adamo CItES9ltvT6NBxuaTEf0kmX2O4ykw5t4yilnWpIqBu-oeJZrNP5z8s4aykX4NPxp5lWkS0PJ0mN1CEmB1KimynTAmEVYhk8cz29J4HJ-y6S0G580fWTwY2OkSmQyRhhUR_Zph7Za

S’il s’avère que le discriminant est strictement négatif, alors l’équation ne nous permet pas de trouver une ou des solutions inscrites dans l’ensemble R (ensemble des réels), en revanche on peut déduire un certain nombre de solutions dans l’ensemble C (ensemble des complexes). Pas dans le programme du chapitre

Quand le discriminant est supérieur à 0 on peut appliquer la formule, donnée au début, dans sa totalité. Il y aura donc deux solutions : Une avec le signe “+” devant la racine et une avec le signe “-” devant la racine.

Dans ce genre de cas on est souvent content d’avoir à disposition la formule mais parfois on peut résoudre sans l'aide de son intervention.

Au lieu de déployer tout une série de calculs il est parfois préférable d’utiliser d’autres méthodes.

Lorsque l’équation ax^2 + bx + c = 0 admet des coefficients a, b et c tels que ceux-ci puissent, une fois factoriser, former une identité remarquable connue, il est alors très facile de résoudre.

comme vous le savez depuis la 3ème il existe trois types d’identités remarquables pour le degré second :

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Si vous disposez d’une équation du second degré permettant de faire le transfert entre cette forme et une identité remarquable, il est fortement recommandé d’utiliser cette méthode.

Exemple dans lequel on peut faire le transfert facilement :

x^2 + 8x + 16 = 0

(x + 4)^2 = 0

x + 4 = 0

x = - 4

On voit bien qu’il est plus simple et plus rapide d’utiliser cette méthode plutôt que celle présentée tout à l’heure.

Dans la plupart des cas on ne parvient pas à faire le transfert, par ce fait on peut appliquer d’autres types de factorisations.

On peut notamment utiliser la méthode de la mise en évidence.

Cette méthode consiste à trouver un facteur commun entre toutes les parties de l’équation et de le mettre en évidence, c’est-à-dire de le placer devant une parenthèse. Ensuite il faut mettre entre parenthèse ce qui va permettre d’obtenir à nouveau l’équation de base, lorsqu’on multiplie la parenthèse par le facteur mis en évidence. Le fait de mettre l’équation sous cette forme permet parfois de passer à une équation du premier degré. On sait que lorsque le produit de deux ou plusieurs nombres est nul, il y a forcément un de ceux-ci qui est nul. On peut donc résoudre avec a = 0 et b = 0 dans l’équation a * b = 0 par exemple. Cette méthode consiste à transformer une addition de monôme en un produit.

Exemple ou un facteur commun existe :

5x^2 - x = 0

x(5x - 1) = 0

5x - 1 = 0

5x = 1

x = ⅕ et x = 0

Il y a également une quatrième méthode qui permet de passer, à ce qu’on appelle une forme développée, donc ax^2 + bx + c = 0, à une forme dite factorisée donc (x + e)(x + h) = 0.

Contrairement à la deuxième méthode il n’y a pas la possibilité de passer de cette forme développée à une identité remarquable. On ne peut pas non plus résoudre à l’aide de la mise en évidence, car il se peut qu’un facteur commun n’existe pas.

Le problème de cette méthode est qu’il faut déduire deux nouveaux coefficients : e et h.

pour les déduire il suffit de comprendre où ils se placent dans la forme développée, en distribuant.

(x + e)(x + h) = x^2 + hx + ex + eh = 0

si on simplifie on obtient :

x^2 + (e + h)x + eh = 0

on s’aperçoit que ce qui se trouve devant le x, donc le b dans la forme développée, est le résultat de la somme entre les deux coefficients et que le c est le résultat du produit entre les deux coefficients.

Ainsi, lorsqu’on peut trouver facilement deux nombres qui, une fois additionnés donne b et qui, une fois multipliés donne c, on peut directement mettre l’équation sous cette forme et donc résoudre avec (x + e) = 0 et (x + h) = 0.

Exemple dans lequel on peut trouver deux coefficients qui respectent les conditions ci-dessus :

x^2 + 8x + 15 = 0

(x + 3)(x +5) = 0

x + 3 = 0 ⇔ x = - 3

x + 5 = 0 ⇔ x = - 5

Lorsqu’on ne trouve pas deux nombres respectant ces conditions, il ne faut pas résoudre l’équation à deux inconnues suivantes : e + h = b et e * h = c car ceci reviendrait à utiliser la première méthode.

Il faut donc vraiment que cela soit flagrant.

Une dernière méthode va être présentée, celle du carré forcé.

Cette méthode a pour but de faire apparaître un carré sous forme d'identité remarquable, pis par la suite d’en extraire la racine carrée.

Lorsqu’on utilise cette méthode c’est que l’on a pas réussi préalablement à appliquer l’une des méthodes prescrites tout à l’heure. On peut toujours utiliser la formule incluant le discriminant, mais celle-ci permet aussi de comprendre un peu plus le raisonnement qui a mené à l’obtention de cette fameuse grosse formule.

x^2 + 20x + 36 = 0

comme 36 est un carré parfait et que la racine carrée de 1 est égal à 1 on pourrait se dire qu’il est possible d’appliquer l’une des identités remarquables, mais là ou ça ne fonctionne pas c’est que le double produit de 6 et 1 ne nous ramène pas à 20. On n’a donc pas d’autres choix que de renoncer à cette méthode.

effectivement si l’on développe (x + 6)2 on obtient x^2 + 12x + 36 ce qui n’est pas similaire à l’équation donnée.

La méthode va consister à prendre en considération uniquement les deux premiers termes de l’équation, soit le terme en x^2 et le terme en x. Ainsi, on va déduire l’identité remarquable qu’il faudrait pour que, lorsqu’on développe, les deux premiers termes soient similaires.

La problématique dans un deuxième temps est que si l’on développe encore on verra apparaître un nombre qui va rompre l’égalité. Pour maintenir l’égalité il va falloir faire en sorte d’annuler cette partie là, ce qui est simple car il suffit de retrancher le nombre en trop.

Ensuite on a une forme favorable à la résolution d’équation du second degré.

Exemple dans lequel on peut utiliser la méthode du carré forcé :

x^2 + 20x + 64 = 0

(x + 10)^2 - 100 + 64 = 0

(x + 10)^2 - 36 = 0

Ici il y a deux manières de résoudre : Soit on isole le x à l’aide de plusieurs étapes :

(x + 10)^2 = 36

x + 10 = +/- 6

x = - 4 et x = - 16

Soit on fait apparaître un deuxième carré :

(x + 10)^2 - 62 = 0

ainsi, comme on le sait, a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

on peut donc écrire :

(x + 10 + 6)(x + 10 - 6) = 0

(x + 16)(x + 4) = 0

on peut résoudre alors pour x + 16 = 0 et pour x + 4 = 0

On en déduit que x = -4 et que x = -16

une fois que l’équation du second degré est sous sa forme canonique, elle devient totalement résolvable.

la forme canonique d’une équation sous la forme ax^2 + bx + c = 0 est

a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac / 4a)

Une fois que l’équation est sous cette forme on peut résoudre manuellement et on peut donc démontrer la formule intégrant le discriminant (celle énoncée au départ).

Faisons donc la démonstration :

a(x + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac / 4a) = 0

<=>

a(x + b/2a)^2 = b^2 - 4ac / 4a

<=>

(x + b/2a)^2 = b^2 - 4ac / 4a^2

<=>

x + b/2a = +/- sqrt(b^2 - 4ac) / 2a

<=>

x = - b + / - sqrt(b^2 - 4ac) / 2a

CQFD

Patrick Adamo - Professeur de mathématiques et de physique

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Second degré - Fonctions :

Comme vu dans les chapitres précédents dédiés aux fonctions affine et linéaire, la définition d'une fonction peut se comprendre facilement.

On peut définir cette notion comme étant un lien entre deux ensembles de nombres.

Le lien qu'il existait, à chaque fois, entre deux ensembles de nombres, pour les fonctions linéaire, était d'ordre proportionnel. Autrement dit, la fonction associait pour chaque valeur de x un certain nombre de fois cette valeur, d'ou le terme de proportionnalité.

Par exemple si l'expression de la fonction était : f(x) = 3x, ça signifiait que cette dernière associait à toute les valeurs de x son triple. Autrement dit, la valeur que va rejeter la fonction sera toujours 3 fois plus grande que la valeur de x.

Les fonctions du second degré ne possèdent pas de lien de proportionnalité avec l'ensemble de départ.

Un exemple d'expression de fonction du second degré simple serait le suivant :

f(x) = x^2.

Dans ce cas-ci, la fonction va toujours associer à chaque valeur de x son carré.

Dans la plupart des cas, l'expression des fonctions du second degré sont plus complexes.

Par exemple : f(x) = 2x^2 + 4x - 5 est toujours une fonction du second degré car le degré maximum est bien de 2.

On voit bien que dans ce cas-ci, ce qui relie l'ensemble de départ avec l'ensemble d'arrivée est nettement plus complexe que la première fonction du second degré.

Ici toutes les valeurs de x vont devoir être élevées au carré, puis additionnées avec 5 fois leurs valeurs et tout cela soustrait de 5.

Contrairement à des fonctions basique comme des fonctions linéaire, Il faudrait un certain nombre d'exemple de valeurs de départ et d'arrivée pour déduire l'expression de la fonction.

Les fonctions du second degré sont représentées graphiquement par ce qu'on appelle une parabole. La parabole a notamment comme propriété de posséder un axe de symétrie, ce qui va impliquer que chaque point de la courbe a, de l'autre côté de l'axe de symétrie, à distance égale, un autre point.

Lorsqu'on représente graphiquement une fonction du second degré, on remarque qu'il existe deux types d'allure différente. Certaines de ces fonctions possède un maximum et on les branches dirigées vers le bas. D'autres ont, au contraire, un minimum et les branches dirigées vers le haut. Il existe un nom pour chacune d'entre elle et on peut repérer facilement, à l'aide de l'expression de la fonction de laquelle il s'agit.

Premièrement il faut savoir que la forme de l'expression d'une fonction du second degré la plus utilisée et ce qu'on appelle la forme développée, celle-ci s'écrit ainsi :

f(x) = ax^2 + bx + c

C'est justement le coefficient a qui va déterminer l'allure de la fonction.

On dit que si a > 0 la fonction est dite convexe. La fonction convexe possède une valeur minimum et les branches de la parabole sont tournées vers la haut.

A l'inverse si a < 0 la fonction est dite concave. La fonction concave possède une valeur maximum et les branches de la parabole sont tournées vers le bas.

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Optimisation - Marche à suivre pour la résolution :

Dans beaucoup d'applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l'aide d'une formule contenant une fonction.

Disposant de cette fonction, on peut déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce qu'on appelle un problème d'optimisation.

Plan de résolution

Voici la marche à suivre pour résoudre un problème d'optimisation :

1) Lire le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant parallèlement une figure d'étude (si nécessaire) pour y indiquer toutes les informations.

2) Préciser ce qu'il s'agit d'optimiser.

3) Exprimer la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, des bénéfices etc...) comme fonction d'une ou plusieurs variables.

4) Si Q dépend de plus d'une variable, en choisir une que l'on appelle x et exprimer les autres en fonction de x à l'aide des équations liant ces variables (contraintes).

5) Utiliser ces équations pour exprimer Q comme fonction d'une seule variable (par substitutions).

6) La fonction obtenue étant quadratique, son maximum (ou minimum) pourra être obtenu en calculant les coordonnées du sommet de la parabole représentant cette fonction.

7) Répondre finalement à la question posée à l'aide d'une phrase en s'assurant que celle-ci est admissible dans le contexte de l'exercice.

Exemple de résolution d'un problème d'optimisation :

Parmi tous les rectangles admettant un périmètre de 1 m, quel est celui dont l'aire est maximale ? Que vaut alors cette aire ?

Après avoir lu plusieurs fois le problème, faire un petit schéma de la situation dans lequel toutes les données importantes seront placées logiquement.

La quantité à optimiser ici est l'aire du rectangle. Cette grandeur géométrique peut varier en fonction de deux variables : la longueur, qu'on notera x et la largeur, qu'on notera y. On sait que l'aire d'un rectangle est égale au produit de ces deux variables, on pourra donc noter :

Q(x) = x * y

La contrainte dans ce cas-ci est que l'aire est exprimable à l'aide de deux variables, hors on sait que l'on pourra toujours exprimer la grandeur à optimiser à partir d'une seule autre variable. Il faut donc trouver un moyen d'exprimer y à l'aide de x.

Il est possible d'invoquer une autre équation, qui permettrait de satisfaire nos attentes car on sait que le périmètre total doit être de 1 mètre.

On peut donc écrire : 2x + 2y = 1, ce qui peut se simplifier, si l'on factorise, en : 2(x + y) = 1. En divisant par 2 de part et d'autres de l'égalité on peut trouver une forme encore plus simplifiée : x + y = 0,5.

A partir de cette égalité, exprimons y en fonction de x. Pour ça, il faut isoler y :

y = 0,5 - x

Maintenant qu'on a pu exprimer y en fonction de x, on peut injecter cette équation dans la fonction qui permet d'exprimer l'aire en fonction de x. On aura que :

Q(x) = x(0,5 - x)

En développant on voit apparaître le terme au carré :

Q(x) = -x^2 + 0,5x

La fonction est concave, ce qui va impliquer qu'elle possédera un extremum qui est un maximum. Il existe bel et bien une situation optimale.

Pour calculer les coordonnées de l'extremum il faut appliquer les deux formules de cours. m = -b/2a et p = f(m).

On aura donc que m = -0,5/2*(-1) = -0,5/-2 = 0,25.

L'aire maximale est atteinte lorsque x = 0,25.

On peut finalement déduire sa valeur en calculant la coordonnée y, soit p en remplaçant x par m dans l'expression de la fonction.

On aura : f(0,25) = -0,25^2 + 0,5 * 0,25 = 0,0625

Pour répondre complètement à la question qui a été posée, il faudrait dire que le rectangle dont l'aire serait la plus grande, en respectant les critères donnés, est finalement un carré et a pour côté 0,25 m.

On peut affirmer ça car x + 7 = 0,5, comme x = 0,25 on en déduit automatiquement que y = 0,25.

Patrick Adamo - Professeur de mathématiques et de physique

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Nombre dérivé et fonction dérivée :

lien du cours : urlz.fr/c1PZ

Patrick Adamo - Professeur de mathématiques et de physique

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